Транскрипт

1 ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени академика СП КОРОЛЕВА» КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ задачи и упражнения Утверждено Редакционно-издательским советом университета в качестве методических указаний С А М А Р А Издательство СГАУ

2 УДК 7 7 Составитель ОМ Карпилова Рецензент канд техн наук доц Г Н Г у т м а н Кратные интегралы задачи и упражнения: метод указания / сост ОМ Карпилова Самара: Изд-во Самар гос аэрокосм ун-та с Сборник содержит образцы решения типовых задач по темам: двойные интегралы тройные интегралы приложения кратных интегралов В каждой теме рассматриваются типовые задачи подробно разбираются методы их решения и предлагаются задачи для самостоятельной работы В приложении даны варианты индивидуального домашнего задания Все задания составлены в соответствии с программой по курсу математики для студентов технических вузов Методические указания подготовлены на кафедре общей инженерной подготовки и предназначены для студентов института энергетики и транспорта Самарского государственного аэрокосмического университета УДК 7 7 Самарский государственный аэрокосмический университет

3 ВЫЧИСЛЕНИЕ ДВОЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ В ДЕКАРТОВЫХ КООРДИНАТАХ Для вычисления двойного интеграла его представляют в виде повторного двукратного интеграла f f Решение примеров Пример Перейти от b a f к повторному интегралу и расставить пределы интегрирования если область ограничена линиями: а 6; б; в; г контуром треугольника ABC где A; B;6 C;; д Решение: а Построим область: прямая параллельная оси О; прямая параллельная оси О; 6 прямая проходящая через точки;6 и 6; Область это треугольник АВС рис Чтобы найти координаты точки С надо решить систему уравнений Рис 6 Отсюда С; Поэтому внутри области Чтобы выяснить как изменяется проведем прямую параллельную оси O и пересекающую область Эта прямая входит в область по линии а выходит по линии 6 или 6 Поэтому 6 Таким образом область можно задать системой неравенств: 6 Теперь легко расставить пределы в двукратном интеграле: f 6 f

4 б Построим: парабола прямая параллельная оси O рис Найдем координаты точек А и В Для этого решим систему ± Проведем прямую параллельную оси O и пересекающую область Эта линия входит в область по параболе и выходит по прямой Рис Таким образом область задается неравенствами f f: Поэтому в Построим область рис: парабола симметричная относительно оси O с вершиной в начале координат; положительная ветвь параболы у симметричной относительно оси O с вершиной в начале координат Рис Найдем точки пересечения этих линий: Возводя обе части уравнения в квадрат получим Отсюда Таким образом линии и пересекаются в точках О; и А; Проведя прямую параллельную O и пересекающую область видим что линия входа а линия выхода

5 Таким образом: поэтому f f г Построим треугольник рис Из чертежа ясно что внутри области Прямая параллельная O и пересекающая область входит в треугольник по стороне АС и выходит по стороне АВ Уравнение прямой проходящей через две точки M и M имеет вид Воспользовавшись этой формулой напишем уравнения сторон АВ и АС: АВ: откуда те; 6 АС: откуда те Таким образом: Поэтому f f д Построим область Для этого преобразуем уравнение границы: Выделим полный квадрат относительно переменной: Получившееся уравнение задает окружность радиусом с центром в точке; рис Рис Рис Чтобы расставить пределы интегрирования надо записать уравнения верхней и нижней половины окружности линии входа в область и выхода из области Разрешим исходное уравнение относительно: ±

6 Очевидно что верхней половине окружности соответствует уравнение нижней Таким образом: поэтому f f Пример Переменить порядок интегрирования: б 6 ; f f ; а в f f Решение: а Область интегрирования задается системой неравенств: Построим область рис6: верхняя половина параболы нижняя половина параболы При перемене порядка интегрирования интеграл примет вид c f Рис 6 Найдем координаты точек пересечения параболы и прямой: ± Таким образом А; В; Проведем прямую параллельно оси O пересекающую область Линия входа этой в область парабола линия выхода прямая Таким образом область можно задать и системой неравенств: Тогда f f 6

7 б В данном случае область интегрирования задается системой неравенств: 6 Построим эту область рис7: 6 гипербола прямая Найдем координаты точек А и В В точке А следовательно В точке В следовательно Таким образом А; В; При перемене порядка интегрирования интеграл примет вид f Рис 7 c Так как то c ; Проведем прямую параллельную оси O и пересекающую область Линия 6 входа гипербола откуда Линия выхода прямая откуда 6 Область задается неравенствами: 6 Окончательно получим 6 6 f f в Построим области: и: Граница области определяется уравнением ± Возводя обе части уравнения в квадрат получим уравнение параболы вершина кото- рой находится в точке; а осью симметрии является ось O Рис Граница области задается следующими уравнениями: прямая проходящая через начало координат и верхняя ветвь параболы Таким образом область интегрирования рис 7

8 Чтобы расставить пределы интегрирования найдем координаты точек пересечения линий границы Для этого решим систему уравнений; Отсюда Таким образом А; В; При перемене порядка интегрирования внешний интеграл будем брать по переменной внутренний по Поэтому проведем прямую пересекающую область и параллельную оси Ох Она входит в область по линии и выходит по линии Итак меняя порядок интегрирования получаем f f f Здесь перемена порядка интегрирования упрощает выкладки так как вместо вычисления двух интегралов понадобится вычислить всего один Пример Вычислить; ; где область ограничена линиями Решение Построим область рис 9: прямая параллельная оси O и прямые проходящие через начало координат Для вычисления интеграла перейдем от двойного интеграла к повторному Так как область можно задать системой неравенств: то Рис 9 Вычисляем сначала внутренний интеграл считая постоянной величиной так как интегрирование ведется по переменной: Теперь осталось вычислить получившийся внешний интеграл:

9 Таким образом Пример Вычислить Решение Построим область: ось O прямая параллельная оси O прямая проходящая через начало координат рис Прямые и пересекаются в точке A ; Переходя к двукратному интегралу и вычисляя его получим если ограничена линиями по формулам приведения Рис 9

10 Задачи для самостоятельного решения Расставить пределы интегрирования в повторных интегралах к которым сводится f если область ограничена линиями: а; б; в; г; д треугольник АВС где А; В; С; Переменить порядок интегрирования: а f ; б f ; в f ; г f Вычислить двойные интегралы считая что область ограничена указанными линиями: а; 7 ; б; ; в; ; г е; 6 Ответы а f ; б f ; в г f ; д а f ; б f f ; в f ; г f а; 7 б; в; f 6 г е е f ;

11 ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ В ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТАХ Если на плоскости заданы и декартова и полярная системы координат причем полюс совпадает с началом координат а полярная ось совмещена с осью Ох то для перехода к полярным координатам используют формулы Рис При этом если область ограничена лучами α β и кривыми рис то f β α f Решение примеров Пример Вычислить > Решение Построим область рис: окружность радиуса прямые проходящие через начало координат Так как область представляет собой часть круга удобно перейди к полярным координатам При этом полюс совместим с точкой О; а полярную ось пустим по оси O Тогда где область ограничена линиями Рис Теперь надо описать область в полярной системе координат Угол внутри области меняется от до см рис Прямая k наклонена к оси O

12 под углом тангенс которого равен k Поэтому tg ; tg Отсюда; Итак внутри области Луч исходящий из полюса О и пересекающий выходит из области по окружности уравнение которой в полярных координатах имеет вид Таким образом область описывается системой неравенств: Теперь легко расставить пределы в повторном интеграле и вычислить его Пример Вычислить е где кольцо Решение Так как область ограничена окружностями 9 и 9 рис удобно перейти к полярным координатам: Тогда уравнения границ примут вид; 9 Рис Чтобы расставить пределы интегрирования в повторном интеграле заметим что внутри области угол принимает все значения от до Проведем из начала координат луч пересекающий область Он входит в область по линии и выходит по линии Таким образом: Тогда

13 9 9 9 е е е е е е е е е е е е Пример Вычислить если определяется неравенствами: Решение Построим область Для этого преобразуем уравнение границы: Итак граница это окружность радиуса с центром в точке; Так как то верхняя половина круга рис Перейдем к полярным координатам: Рис Уравнение границы в полярных координатах примет вид Полагая получим Область целиком расположена в первой четверти поэтому Таким образом в полярных координатах область задается неравенствами Теперь можно вычислить двойной интеграл

14 Задачи для самостоятельного решения Вычислить переходя к полярным координатам: где верхняя половина круга 6 где область удовлетворяет неравенствам где область ограничена линиями 9 6 где ограничена линиями 6 где область ограничена кривыми Ответы; ; ; ; ПРИЛОЖЕНИЯ ДВОЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ Двойной интеграл применяется при вычислении: а площади плоской фигуры ограниченной областью: S ; б объема цилиндрического тела ограниченного сверху непрерывной поверхностью f снизу плоскостью и сбоку прямой цилиндрической поверхностью вырезающей на плоскости O область:

15 f ; в площади поверхности заданной уравнением f проекцией которой на плоскость O является область: σ Кроме того двойные интегралы используются в механике для вычисления: а массы плоской пластинки занимающей область плоскости O и имеющей переменную поверхностную плотность γ γ: M γ ; б статистических моментов пластинки относительно осей O и O: ; M γ ; M γ в координат центра тяжести пластинки: γ M ц; M γ Решение примеров ц M M γ γ 6 Пример Найти площадь области ограниченной линиями Решение Построим область Уравнение задает параболу уравнение прямую проходящую через начало координат рис Чтобы найти точки пересечения этих линий решим систему уравнений: Отсюда Тогда Таким образом прямая пересекает параболу в точках; и А; По формуле S Рис Пример Найти площадь фигуры ограниченной линиями вне первой окружности;

16 Решение Уравнение задает окружность радиуса с центром в начале координат Уравнение задает окружность радиуса с центром в точке;: Требуется найти площадь фигуры AmBnА рис 6 Здесь удобно перейти к полярным координатам Тогда первое уравнение примет вид Второе уравнение: Рис 6 Чтобы определить координаты точек А и В решим совместно систему уравнений ± Итак; А; В Область AmBn можно задать неравенствами По формуле 6 S Пример Найти объем тела ограниченного координатными плоскостями и плоскостью Решение Построим тело рис 7 и его проекцию на плоскость O рис 6

17 По формуле Рис 7 Рис В примере область это треугольник ОАВ изображенный на рис а поверхность определяется уравнением плоскости откуда Таким образом Пример Найти объем тела ограниченного координатными плоскостями плоскостью и поверхностью Решение Тело изображено на рис 9 Плоскость проходит параллельно оси O; параболоид вершина которого находится в точке;; Проекцией тела на плоскость O является треугольник АВО рис АВ линия пересечения плоскости с плоскостью поэтому уравнение прямой AB: откуда 7

18 По формуле Рис 9 Рис цилиндром 6 Пример Найти объем тела ограниченного параболоидом и плоскостями и Решение Тело изображено на рис Для удобства расстановки пределов интегрирования построим проекцию тела на плоскость O рис По формуле Рис Рис

19 7 6 Пример 6 Найти объем тела ограниченного поверхностями 7 Решение Данное тело ограничено двумя параболоидами рис Линия пересечения параболоидов определяется системой уравнений Из первого уравнения Итак линией пересечения является окружность радиуса лежащая в плоскости: Проекция этой линии на плоскость O тоже окружность поэтому удобно перейти к полярным координатам Рис Объем тела можно подсчитать как разность объемов двух цилиндрических тел: Пример 7 Найти площадь поверхности сферы внутри цилиндра 9 Решение Цилиндр вырезает на поверхности сферы две части симметричные относительно плоскости O рис В силу симметрии достаточно вычислить площадь поверхности только верхней «шапочки» и результат удвоить 9

20 Для вычисления воспользуемся формулой Так как в нее входят частные производные вычислим и У нас поэтому из уравнения сферы Тогда Рис Таким образом по формуле σ Проекция поверхности на плоскость O круг удобно перейти к полярным координатам В полярной системе координат уравнение окружности вид Итак в полярных координатах σ 9 следовательно 9 примет Так как мы считали площадь только верхней «шапочки» то вся площадь поверхности равна σ σ n Пример Найти центр тяжести однородной пластинки ABC если A;- B; C; ;- Решение Для вычисления координат центра тяжести воспользуемся формулами 6 Так как пластинка однородна то поверхностная плотность γ постоянна поэтому формулы примут вид ц; ц

21 Из рисунка рис видно что пластинка имеет форму трапеции и симметрична относительно оси O поэтому Запишем уравнения прямых BC и A воспользовавшись формулой определяющей уравнение прямой проходящей через две заданные точки: ц BC: ; A: Рис Вычислим теперь отдельно числитель и знаменатель дроби определяющей координату: ц 9 В знаменателе стоит интеграл равный площади области те площади трапеции ABC Поэтому h ; можно вычислить этот AB C интеграл и непосредственно Таким образом ц; ц Пример 9 Найти массу верхней половины эллипса если плотность в каждой точке равна ординате точки b a Решение Плотность в каждой точке равна ординате те γ По формуле M γ Для верхней половины эллипса рис 6 b поэтому a Рис 6

22 M a a a a b a b a a a b a a a b a a a a b Задачи для самостоятельного решения a ab Найти площадь фигуры ограниченной линиями: а; б; в a ; г a a ; д Найти объем тела ограниченного поверхностями: а; б; в a ; г Найти площадь указанной поверхности: а части плоскости 6 заключенной в первом октанте; б части плоскости a вырезаемой цилиндром a ; в параболоида внутри цилиндра; г параболоида отсекаемого параболическим цилиндром и плоскостью Найти центр тяжести трапеции ABC где A; B; C; ; если плотность в каждой точке равна абсциссе этой точки Найти центр тяжести однородной фигуры ограниченной параболой и прямой 6 Найти массу круглой пластинки радиуса если поверхностная плотность в каждой точке пропорциональна расстоянию от центра круга Ответы а; б; в; г a a ; д 6 а 6; б; в a ; г a a

23 а; б a ; в; г ц ц ц ц 6 6 k ВЫЧИСЛЕНИЕ ТРОЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ В ДЕКАРТОВЫХ КООРДИНАТАХ Для вычисления тройного интеграла его представляют в виде трехкратного интеграла: Решение примеров Пример Перейти от f b a f f к трехкратному и расставить пределы интегрирования если область ограничена: а плоскостью и координатными плоскостями; б конусом и плоскостью h; в шаром Решение а Построим область и проекцию этой области на плоскость O рис 7 Прямая АВ это линия пересечения плоскости с плоскостью поэтому ее уравнение Таким образом это ОАВ Рис 7 Рис Из рис легко увидеть что Проведя прямую параллельную оси O и пересекающую треугольник ОАВ рис замечаем что она входит в по линии а выходит по линии те

24 Чтобы выяснить пределы изменения проведем прямую параллельную оси O и пересекающую область рис 7 Она входит в область по поверхности и выходит по поверхности те Таким образом область можно описать системой неравенств 6 поэтому f f 6 б Для расстановки пределов в трехкратном интеграле построим область и ее проекцию на плоскость O область рис 9 Уравнение линии ограничивающей область получают решая систему уравнений h h Рис 9 То есть круг радиусом h с центром в начале координат Проводя прямые параллельные O и O пересекающие и получаем что описывается системой неравенств h h h h h Поэтому h h h h h f f

25 Можно выбрать в трехкратном интеграле другой порядок интегрирования тогда естественно изменятся и пределы интегрирования Например представим исходный интеграл в виде c f Чтобы расставить пределы интегрирования спроектируем на плоскость O и проведем прямые параллельные O и O и пересекающие соответственно и рис В этом случае задается неравенствами: h поэтому h f f Рис в Построим область и ее проекцию на плоскость O рис Рис Из чертежа видно что

26 f f f f Пример Вычислить если тело ограничено координатными плоскостями плоскостью и конусом Решение Построим тело и его проекцию на плоскость O рис Из чертежа видно что описывается неравенствами: Рис Таким образом 6 6

27 Задачи для самостоятельного решения Перейти от f к трехкратному интегралу и расставить пределы интегрирования если тело ограничено: а эллипсоидом; 9 б параболоидом и плоскостью; в координатными плоскостями и плоскостью 6 Вычислить если тело ограничено плоскостями и сферой Вычислить если тело ограничено плоскостями Вычислить и конусом Ответы 9 если тело ограничено плоскостями а f ; б f ; в f 6 ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ТРОЙНОМ ИНТЕГРАЛЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ И СФЕРИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ Формулы перехода к цилиндрическим координатам рис: ; ; ; Формулы перехода к сферическим координатам θ r рис: r θ ; r θ ; r θ ; r θrθ Здесь; θ ; r 7

28 Решение примеров Пример Вычислить Рис Рис если ограничено конусом и плоскостью Решение Тело изображено на рис Линия пересечения конуса и плоскости имеет уравнение те Таким образом проекция тела на плоскость O круг рис6 Рис Рис 6 Перейдем к цилиндрическим координатам: ; ; ; В этих координатах уравнение окружности изображенной на рис 6 уравнение конуса а тело задается неравенствами; ; Итак

29 v Пример Вычислить если тело ограничено поверх- ностями Решение Построим область; плоскости Чтобы построить поверхность преобразуем уравнение: Это уравнение определяет круговой цилиндр в основании которого лежит круг радиуса с центром в точке;; Таким образом область интегрирования это цилиндр рис 7 Поэтому удобно воспользоваться цилиндрическими координатами В этих координатах уравнение цилиндрической поверхности ограничивающей область интегрирования примет вид То есть откуда Исходя из этого область можно описать системой неравенств; ; Рис 7 9

30 Итак Пример Вычислить где тело верхняя половина шара Решение Так как здесь область интегрирования является частью шара удобно перейти к сферическим координатам: r r r r r r r r r r r r r θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ Задачи для самостоятельного решения Вычислить если ограничено поверхностями Вычислить где ограничено поверхностями

31 Вычислить Вычислить если ограничено поверхностями если шар Ответы ПРИЛОЖЕНИЯ ТРОЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ Тройной интеграл применяется при вычислении: а объема тела Ω: ; 7 Ω б массы тела занимающего область Ω с переменной объемной плотностью γ: M γ ; Ω в координат центра тяжести тела Ω: ц γ M Ω ц γ 9 M Ω ц γ M Ω где М масса тела Если тело однородно то в формулах 9 можно положить γ ; M Решение примеров Пример Найти объем тела ограниченного цилиндром и плоскостями Решение Тело и его проекция на плоскость O изображены на рис Рис Чтобы найти координаты точек А и В решим систему уравнений:

32 ± A ; B; Таким образом область Ω описывается системой неравенств; ; По формуле 7 Ω Пример Найти массу тела ограниченного плоскостями если плотность в каждой точке γ Решение Построим тело Ω и его проекцию на плоскость O рис 9 Рис 9 Плоскость пересекается с плоскостью по прямой Решив систему получим координаты точки А; Таким образом тело Ω описывается системой неравенств; ; По формуле масса тела M Ω Пример Вычислить массу тела ограниченного плоскостями 9 и параболическим цилиндром если плотность в каждой точке пропорциональна абсциссе и на единице расстояния от плоскости O равна

33 Решение Плотность пропорциональна абсциссе; следовательно k γ На единице расстояния от плоскости O плотность равна; следовательно при γ Тогда k k Таким образом γ Построим тело Ω и его проекцию на плоскость O рис Рис Чтобы найти координаты точки А решим систему уравнений; 9 A Таким образом область можно задать системой неравенств Ω Ω 9: По формуле масса тела равна Ω M Пример Найти координаты центра тяжести тела ограниченного нижней половиной сферы и параболоидом если плотность в каждой точке пропорциональна квадрату расстояния от оси O

34 Решение Построим тело Вершина параболоида точке; ; Уравнение находится в можно преобразовать к виду те оно задает сферу радиуса с центром в точке; ; Итак тело имеет вид представленный на рис Проекцией этого тела на плоскость O является окружность Ее уравнение можно получить решив систему уравнений В плоскости уравнение линии пересечения имеет вид Уравнение проекции тела Ω на плоскость имеет тот же вид Ω Рис Поскольку окружность удобно при вычислении перейти к цилиндрическим координатам; ; В этих координатах уравнение границы Ω имеет вид; а угол удовлетворяет условию Уравнение параболоида в цилиндрических координатах откуда Уравнение сферы: ± Для нижней половины Переменная плотность по условию задачи пропорциональна квадрату расстояния от оси O те γ k В цилиндрических координатах γ k Так как тело симметрично относительно оси O то очевидно что центр тяжести лежит на этой оси те ц; ц Для вычисления ц воспользуемся формулой 9: ц γ M Ω Вычислим сначала массу тела M [формула ]:

35 6 k k k k k k k k M γ Ω Ω Ω Теперь вычислим Ω Ω Ω γ k k k k k k k k k k По формуле k k ц Итак центр тяжести рассматриваемого тела имеет координаты; ; 7

36 Задачи для самостоятельного решения 6 Найти объем тела ограниченного: а плоскостями; б параболоидом и плоскостью; в поверхностями и 6 Найти массу тела ограниченного: а сферами если плотность γ k ; б поверхностями если плотность γ k ; в конусом и плоскостью b если плотность пропорциональна ординате точки и на единице расстояния от плоскости O равна γ 6 Найти координаты центра тяжести однородного тела ограниченного плоскостями a Ответы 6 а; б; в 6 9 k γb 6 а k ; б; в 6 6 C ;; 6

37 Вариант ПРИЛОЖЕНИЕ ВАРИАНТЫ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ДОМАШНИХ ЗАДАНИЙ Найти центр тяжести плоской фигуры ограниченной линиями Найти площадь поверхности цилиндра заключенную внутри цилиндра Найти объем тела ограниченного поверхностями Найти массу тела ограниченного сферой и параболоидом если плотность в любой точке равна аппликате этой точки Вариант Найти центр тяжести плоской фигуры ограниченной линией и одной полуволной синусоиды Найти площадь поверхности конуса отсеченную плоскостями Найти объем тела ограниченного поверхностями Найти массу тела ограниченного частью шара радиуса находящейся в первом октанте если плотность в любой точке равна расстоянию от точки до плоскости O Вариант Найти центр тяжести плоской фигуры ограниченной линиями Найти площадь поверхности конуса внутри цилиндра 9 Найти объем тела ограниченного поверхностями 9 9 Найти массу тела ограниченного сферическим слоем между поверхностями 9 и 6 если плотность в каждой точке обратно пропорциональна расстоянию от точки до начала координат Вариант Найти центр тяжести плоской фигуры ограниченной линиями 6 > Найти площадь поверхности расположенную внутри цилиндра 6 Найти объем тела ограниченного поверхностями 7

38 Найти массу тела ограниченного прямым круговым цилиндром радиуса высотой если плотность в каждой точке равна квадрату расстояния от точки до оси симметрии цилиндра Вариант Найти центр тяжести плоской фигуры ограниченной окружностью с центром в начале координат радиусом и двумя лучами расположенными симметрично относительно оси O и образующими между собой угол Найти площадь поверхности конуса расположенную внутри цилиндра Найти объем тела ограниченного поверхностями Найти массу тела ограниченного координатными плоскостями и плоскостью 6 если плотность в каждой точке равна абсциссе этой точки Вариант 6 Найти центр тяжести плоской фигуры ограниченной осью O и верхней частью эллипса b a Найти площадь поверхности цилиндра отсеченную плоскостями Найти объем тела ограниченного поверхностями 6 Найти массу тела ограниченного поверхностями 6 если плотность в каждой точке равна аппликате этой точки Вариант 7 Найти центр тяжести плоской фигуры ограниченной кардиоидой 7 Найти площадь поверхности конуса вырезанную цилиндром Указание Перейти к полярным координатам Найти объем тела ограниченного поверхностями Найти массу тела ограниченного поверхностями > если плотность равна ординате точки Вариант Найти центр тяжести плоской фигуры ограниченной линиями p

39 Найти площадь поверхности параболоида внутри цилиндра Найти объем тела ограниченного поверхностями 6 Найти массу тела ограниченного поверхностями если плотность в каждой точке равна Вариант 9 Найти центр тяжести плоской фигуры ограниченной линиями 9 9 > Найти площадь поверхности тела ограниченного сферой и параболоидом Найти объем тела ограниченного поверхностями 6 9 вне цилиндра Найти массу тела ограниченного сферическим слоем между поверхностями 6 если плотность обратно пропорциональна расстоянию точки от начала координат Вариант Найти центр тяжести плоской фигуры ограниченной линией и прямой ОА проходящей через начало координат и точку A ; Найти площадь поверхности сферы вырезанную цилиндром Найти объем тела ограниченного поверхностями; внутри цилиндров Найти массу тела ограниченного шаром радиусом если плотность пропорциональна кубу расстояния от центра шара и на единице расстояния равна γ ; Вариант Найти центр тяжести плоской фигуры ограниченной линиями 6 Найти площадь поверхности цилиндра между плоскостями Найти объем тела ограниченного поверхностями Найти массу тела ограниченного цилиндрической поверхностью и плоскостями если плотность равна ординате точки 9

40 Вариант Найти центр тяжести плоской фигуры ограниченной кардиоидой Найти площадь поверхности шара заключенную внутри цилиндра Найти объем тела ограниченного поверхностями Найти массу тела ограниченного октантом шара координатными плоскостями и плоскостью если плотность в каждой точке равна аппликате этой точки Вариант Найти центр тяжести плоской фигуры ограниченной линиями Найти площадь поверхности параболоида заключенную между цилиндром и плоскостью c a b Найти массу тела ограниченного параболоидом и плоскостью если плотность равна сумме квадратов координат точки Вариант Найти центр тяжести плоской фигуры ограниченной линиями Найти площадь поверхности цилиндра заключенную между плоскостью O и поверхностью Найти объем тела ограниченного поверхностями Найти массу тела ограниченного цилиндром 6 если плотность пропорциональна квадрату расстояния от точки до оси цилиндра Вариант Найти центр тяжести плоской фигуры ограниченной линиями α α tg tg Найти площадь поверхности конуса расположенную внутри цилиндра Найти объем тела ограниченного поверхностями

41 Найти массу тела ограниченного поверхностями > если плотность равна ординате точки Вариант 6 Найти центр тяжести плоской фигуры ограниченной линиями 6 Найти площадь поверхности шара 6 внутри цилиндров Найти объем тела ограниченного поверхностями b a a b Найти массу тела ограниченного поверхностями если плотность равна аппликате точки Вариант 7 Найти центр тяжести равнобедренного прямоугольного треугольника с катетом если плотность в каждой точке пропорциональна квадрату расстояния от вершины прямого угла Найти площадь поверхности конуса вырезанную цилиндром Указание Перейти к полярным координатам Найти объем тела ограниченного поверхностями 9 Найти массу шара радиуса если плотность пропорциональна кубу расстояния от центра шара и на единице расстояния равна γ Вариант Найти центр тяжести плоской фигуры ограниченной линиями Найти площадь поверхности параболоида заключенную в первом октанте Параболоид ограничен плоскостью 6 Найти объем тела ограниченного поверхностями 6 Найти массу части шара радиуса находящейся в первом октанте если плотность в каждой точке равна расстоянию от плоскости O Вариант 9 Найти центр тяжести плоской фигуры ограниченной линиями Найти площадь поверхности тела ограниченного сферой и параболоидом

42 Найти объем тела ограниченного поверхностями Найти массу тела ограниченного прямым круговым цилиндром радиусом высотой если плотность равна квадрату расстояния точки от центра основания цилиндра Вариант Найти центр тяжести плоской фигуры ограниченной линиями > Найти площадь поверхности сферы 9 вырезанную цилиндром Найти объем тела ограниченного поверхностями Найти массу шара радиуса если плотность пропорциональна кубу расстояния от центра и на единице расстояния равна γ Вариант Найти центр тяжести плоской фигуры ограниченной линиями ± tg 6 Найти площадь поверхности цилиндра внутри цилиндра Найти объем тела ограниченного поверхностями внутри цилиндра Найти массу тела ограниченного общей частью двух шаров если плотность пропорциональна расстоянию от точки до плоскости O Вариант Найти центр тяжести плоской фигуры ограниченной кардиоидой Найти площадь поверхности конуса отсеченную плоскостями Найти объем тела ограниченного поверхностями вне цилиндра 6 Найти массу части шара радиуса находящейся в первом октанте если плотность в каждой точке равна расстоянию до плоскости O

43 Вариант Найти центр тяжести плоской фигуры ограниченной линиями Найти площадь поверхности параболоида 6 заключенную между цилиндром и плоскостью Найти объем тела ограниченного поверхностями Найти массу тела ограниченного сферическим слоем между поверхностями 6 если плотность обратно пропорциональна расстоянию от начала координат Вариант Найти центр тяжести плоской фигуры ограниченной линиями 9 Найти площадь поверхности расположенную внутри цилиндра Найти объем тела ограниченного поверхностями Найти массу тела ограниченного параболоидом и плоскостью если плотность равна сумме квадратов координат точки Вариант Найти центр тяжести плоской фигуры ограниченной линиями Найти площадь поверхности конуса внутри цилиндра Найти объем тела ограниченного поверхностями Найти массу тела ограниченного общей частью двух шаров если плотность пропорциональна расстоянию от точки до плоскости O

44 СОДЕРЖАНИЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ДВОЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ В ДЕКАРТОВЫХ КООРДИНАТАХ ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ В ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТАХ ПРИЛОЖЕНИЯ ДВОЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ ВЫЧИСЛЕНИЕ ТРОЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ В ДЕКАРТОВЫХ КООРДИНАТАХ ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ТРОЙНОМ ИНТЕГРАЛЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ И СФЕРИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ 7 6 ПРИЛОЖЕНИЯ ТРОЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ ПРИЛОЖЕНИЕ ВАРИАНТЫ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ДОМАШНИХ ЗАДАНИЙ 7 Учебное издание КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ задачи и упражнения Методические указания Составитель Карпилова Ольга Михайловна Редактор Ю Н Л и т в и н о в а Доверстка Ю Н Л и т в и н о в а Подписано в печать Формат 6х /6 Бумага офсетная Печать офсетная Усл печ л 7 Тираж экз Заказ Арт С-9/ Самарский государственный аэрокосмический университет 6 Самара Московское шоссе Изд-во Самарского государственного аэрокосмического университета 6 Самара Московское шоссе

Cos, sin, J dd dd d d 5 Вычислить zdd zddz ddz, где внешняя сторона поверхности z, отсекаемая плоскостью z Р е ш е н и е Поверхность представляет собой параболоид, заданный явно уравнением z Поэтому

ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. МАТЕМАТИКА. МАТЕМАТИКА (СПЕЦГЛАВЫ). МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III ТЕМА КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОГЛАВЛЕНИЕ Вычисление двойных и тройных

Министерство транспорта Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Российский университет транспорта (МИИТ)» ИТТСУ Кафедра «Высшая и вычислительная

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 9 Вычисление двойного интеграла в полярных координатах Приложения двойных интегралов Рассмотрим частный случай замены переменных часто используемый при вычислении двойного интеграла

Двойные интегралы Примеры решения задач 1. Свести двойной интеграл f(x, y) dx dy к повторному двумя способами (по формуле (1) и по формуле (2)), если G область, ограниченная кривыми x = 1, y = x 2, y =

Выражение массы тела через тройной интеграл в цилиндрических координатах Определения и формулы для решения задач Определение Цилиндрическим брусом ориентированным по оси O рис Называется тело G ограниченное

Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра инженерной математики Н.А. Кондратьева О.Г. Вишневская Н.К. Прихач МАТЕМАТИКА Методическое пособие

Пособие предназначено для студентов заочников КГТУ второго года обучения. В пособии в краткой и доступной форме рассмотрены темы: Кратные интегралы, Криволинейные интегралы, Ряды, Теория вероятностей.

Министерство науки и образования Российской Федерации Московский Государственный Университет Геодезии и Картографии АВ Аристархова, НГ Бабаева Индивидуальные задания по высшей математике КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

БАНК ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ «ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ» * Изменить порядок интегрирования + d d * Найти площадь плоской области, ограниченной линиями =, =, = * Вычислить (D) + acctg d, где) +, + 9, = (D область,

МИНИСТЕРСТВО КУЛЬТУРЫ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КИНО И

Часть. Примерные экзаменационные задачи по математике А. Простейшие задания на три балла.. Вычислить интегралы arcsin д) II семестр ИСиА, и 9 гр. и) 6 n к) 5 6 5 ж) 6 г) cos з) z arcsin z. Вычислить производную

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА (МИИТ)» Институт транспортной техники

3 область (D) В нашем случае n - вектор нормали к плоскости XOY те n k { } = ϕ, ϕ, Тогда = =, а n { } cos γ =, + + (ϕ) (ϕ) (ϕ) (ϕ) dq = + + dd Замечание Если поверхность (Q) правильная в направлении

ЗАДАЧНИК ПО МАТЕМАТИКЕ (тенические факультеты, семестр) 7 Интегралы Найдите интегралы d d sin + d + + d + d + d 7 (+) d + + 8 d 9 cos d cos + d cos d + 8 d 9 d d + d 9 + d + 7 tg d 8 cosd cos sin 9 d

ЛЕКЦИЯ N 45 Кратные интегралы в полярных, цилиндрических и сферических координатах Приложения кратных интегралов Двойной интеграл в полярных координатах Тройной интеграл в цилиндрических и сферических

Глава. Кратные интегралы.. Занятие... Сведение двойного интеграла к повторному При вычислении двойных интегралов следует различать два случая. () Первый случай. Область интегрирования ограничена слева

ВЫСШИЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ СБОРНИК ТИПОВЫХ РАСЧЕТОВ по дисциплине «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» часть II для студентов специальности Т 000 Почтовая связь Минск 00 Составитель Рябенкова ЛА Издание утверждено на заседании

ЛЕКЦИЯ Линии второго порядка гиперболу В качестве примера найдем уравнения задающие окружность, параболу, эллипс и Окружность Окружностью называется множество точек плоскости, равноудалённых от заданной

Тройной интеграл Волченко Ю.М. Содержание лекции Понятие тройного интеграла. Условия его существования. Теорема о среднем. Вычисление тройного интеграла в декартовых и криволинейных координатах. Тройной

ЛЕКЦИЯ N. Вычисление кратных интегралов..вычисление двойного интеграла в прямоугольных декартовых координатах.....вычисление двойного интеграла (произвольная область).....тройной интеграл.....вычисление

Введение Методические указания содержат 26 вариантов индивидуальных домашних заданий по темам «Прямая на плоскости и в пространстве», «Плоскость», «Кривые и поверхности второго порядка». Под индивидуальными

Содержание Введение Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы Элементы теории поля Задачи для аудиторных занятий Краткие сведения из теории Образцы решения задач Задачи для самоподготовки Тестовая

Практическое занятие 6 Поверхностные интегралы 6 Определение свойства вычисление и приложения поверхностного интеграла -го рода 6 Определение свойства и вычисление поверхностного интеграла -го рода 6 Определение

Б. М. Маврин, Е. И. Балаев ИЗОБРАЖЕНИЕ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ Практикум Самара 2005 ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ

Двойные интегралы Задачи и упражнения для самостоятельной работы 1. Сведите двойной интеграл f(x, y) dx dy к повторному двумя способами, если: G а) G треугольник с вершинами (1, 1), (4, 1), (4, 4); б)

Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения Кафедра «Высшая математика» И Н Пирогова Аналитическая геометрия в примерах и задачах Екатеринбург

Занятия 1-2. Определенный интеграл и его приложения I. Используя формулу Ньютона-Лейбница, вычислить определенный интеграл: 1. (2 + 2) 2. / 3. (4.) 5. 6. 7. 8. Ефимов-Поспелов 7.324-7.352, 7.380-7.385,

Лекция 7 Несобственные интегралы Несобственными интегралами называются определенные интегралы, для которых не выполнено хотя бы одно из условий существования определенного (собственного) интеграла:)либо

14-е занятие. Тройные интегралы Матем. анализ, прикл. матем., 3-й семестр Повторение A1 В следующем интеграле перейти к полярным координатам и расставить пределы интегрирования в том и другом порядке:

Министерство образования Российской Федерации Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова Кафедра дискретного анализа ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ Задачи Ярославль Составитель канд.

МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ (МАДИ) ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Варианты контрольных заданий Задачник МОСКОВСКИЙ АВТОМОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ

Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения Кафедра «Высшая и прикладная математика» П И Гниломедов ПРИЛОЖЕНИЯ КРАТНЫХ И КРИВОЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени

Приложение 5 Министерство сельского хозяйства Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Саратовский государственный аграрный университет

ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ. Прямая линия 1. Вычислите периметр треугольника, вершинами которого служат точки A(6; 7), B(3; 3), C(1; 5). 2. Найдите точку, равноудаленную от точек A(7;

Министерство образования и науки Российской Федерации Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова Кафедра алгебры и математической логики Кривые второго порядка Часть I Методические указания

Содержание Кратные интегралы Понятие кратного интеграла Двойные интегралы. Области на плоскости................. Повторный интеграл................ 3.3 Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах.......................

Практическое занятие 14 Тема: Парабола План 1. Определение и каноническое уравнение параболы.. Геометрические свойства параболы. Взаимное расположение параболы и прямой, проходящей через ее центр. Основные

1 Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости 11 Расстояние между двумя точками Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис Рис 1 Любой точки M соответствуют координаты OA x

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ (ИНСТИТУТ)

Глава 5. Тройной интеграл. 5.1. Определение тройного интеграла. После введения в предыдущей главе понятия двойного интеграла естественно было бы провести его дальнейшее обобщение на трехмерное пространство

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ.. ЛИНИИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА (ПРЯМЫЕ НА ПЛОСКОСТИ... ОСНОВНЫЕ ТИПЫ УРАВНЕНИЙ ПРЯМЫХ НА ПЛОСКОСТИ Ненулевой вектор n перпендикулярный заданной прямой называется нормальным

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА ИМЕНИ ИМГУБКИНА ТС Филиппова АНФилиппов МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к изучению темы «Кратные и криволинейные

Пензенский государственный педагогический университет имени ВГБелинского ОГНикитина ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Учебное пособие Пенза Печатается по решению редакционно-издательского

Тема ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Лекция.. Прямые на плоскости П л а н. Метод координат на плоскости.. Прямая в декартовых координатах.. Условие параллельности и перпендикулярности

ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Глава 5 Поверхностные интегралы -го типа (продолжение) 5 Задачи в классе Задача 5 (4349) Вычислить интеграл где часть поверхности конуса z d, x = ρ cos ϕ sin α, y = ρ sin ϕ sin α, z = ρ cos α ((ρ h,

Федеральное агентство по образованию Уральский государственный лесотехнический университет Кафедра Сопротивления материалов и теоретической механики В. А. Калентьев В. М. Калинин Л. Т. Раевская Н. И. Чащин

ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ЗАНЯТИЕ ПЛОСКОСТЬ В ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ Написать векторное уравнение плоскости и объяснить смысл величин, входящих в это уравнение Написать общее уравнение плоскости

3 Пример Записать выражения для статических моментов плоской материальной области (D) На основании формул (3) с учетом фигуры (Φ) имеем: ρ, dd, ρ, dd Исходя из механического смысла статического момента,

Задача 1 Найти координаты центра тяжести полуокружности y = r 2 x 2. Задача 5 площадь части поверхности z = 1 4 xy, расположенной внутри поверхности x 2 + y 2 = 16. Задача 2 Изменить порядок интегрирования

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к решению задач по дисциплине Высшая математика и варианты контрольных заданий практические

Практические занятия по курсу высшей математики (III семестр) на основе учебного пособия «Сборник индивидуальных заданий по высшей математике», том 3, под ред. Рябушко А.П. для студентов дневной формы

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Вычислительная математика и математическая физика» А.И. Левина КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Электронное

Интегральное исчисление функции нескольких переменных интегралов двойного тройного криволинейного по длине дуги (первого рода) поверхностного по площади поверхности (первого рода) Пусть функция f() определена

1.3. Занятие 3 1.3.1. Вычисление тройных интегралов в декартовых координатах Пусть пространственная область, D ее проекция на плоскость Oxy. Область называется -правильной, если любая вертикальная прямая

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Белорусский национальный технический университет Кафедра инженерной математики ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Руководство к решению задач для студентов механико-технологического

Практическое занятие 1 Тема: Гипербола План 1 Определение и каноническое уравнение гиперболы Геометрические свойства гиперболы Взаимное расположение гиперболы и прямой, проходящей через ее центр Асимптоты

Министерство образования и науки Российской Федерации

Курсовая работа

По дисциплине: Высшая математика

(Основы линейного программирования)

На тему: КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Выполнил: ______________

Преподаватель:___________

Дата ___________________

Оценка _________________

Подпись ________________

ВОРОНЕЖ 2008

1 Кратные интегралы

1.1 Двойной интеграл

1.2 Тройной интеграл

1.3 Кратные интегралы в криволинейных координатах

1.4 Геометрические и физические приложения кратных интегралов

2 Криволинейные и поверхностные интегралы

2.1 Криволинейные интегралы

2.2 Поверхностные интегралы

2.3 Геометрические и физические приложения

Список используемой литературы

1 Кратные интегралы

1.1 Двойной интеграл

Рассмотрим в плоскости Оху замкнутую область D, ограниченную линией L. Разобьем эту область какими-нибудь линиями на п частей

, а соответствующие наибольшие расстояния между точками в каждой из этих частей обозначим d 1 , d 2 , ..., d n . Выберем в каждой части точку Р i .

Пусть в области D задана функция z = f(x, y). Обозначим через f(P 1), f(P 2),…, f(P n) значения этой функции в выбранных точках и составим сумму произведений вида f(P i)ΔS i:

, (1)

называемую интегральной суммой для функции f(x, y) в области D.

Если существует один и тот же предел интегральных сумм (1) при

и , не зависящий ни от способа разбиения области D на части, ни от выбора точек P i в них, то он называется двойным интегралом от функции f(x, y) по области D и обозначается . (2)

Вычисление двойного интеграла по области D, ограниченной линиями

x = a, x = b(a < b), где φ 1 (х) и φ 2 (х) непрерывны на (рис. 1) сводится к последовательному вычислению двух определенных интегралов, или так называемого двукратного интеграла: = (3)

1.2 Тройной интеграл

Понятие тройного интеграла вводится по аналогии с двойным интегралом.

Пусть в пространстве задана некоторая область V, ограниченная замкнутой поверхностью S. Зададим в этой замкнутой области непрерывную функцию f(x, y, z). Затем разобьем область V на произвольные части Δv i , считая объем каждой части равным Δv i , и составим интегральную сумму вида

, (4)

Предел при

интегральных сумм (11), не зависящий от способа разбиения области V и выбора точек P i в каждой подобласти этой области, называется тройным интегралом от функции f(x, y, z) по области V: . (5)

Тройной интеграл от функции f(x,y,z) по области V равен трехкратному интегралу по той же области:

. (6)

1.3 Кратные интегралы в криволинейных координатах

Введем на плоскости криволинейные координаты, называемые полярными. Выберем точку О (полюс) и выходящий из нее луч (полярную ось).

Рис. 2 Рис. 3

Координатами точки М (рис. 2) будут длина отрезка МО – полярный радиус ρ и угол φ между МО и полярной осью: М(ρ,φ). Отметим, что для всех точек плоскости, кроме полюса, ρ > 0, а полярный угол φ будем считать положительным при измерении его в направлении против часовой стрелки и отрицательным – при измерении в противоположном направлении.

Связь между полярными и декартовыми координатами точки М можно задать, если совместить начало декартовой системы координат с полюсом, а положительную полуось Ох – с полярной осью (рис. 3). Тогда x=ρcosφ, у=ρsinφ . Отсюда

, tg.

Зададим в области D, ограниченной кривыми ρ=Φ 1 (φ) и ρ=Φ 2 (φ), где φ 1 < φ < φ 2 , непрерывную функцию z = f(φ, ρ) (рис. 4).

(7)

В трехмерном пространстве вводятся цилиндрические и сферические координаты.

Цилиндрические координаты точки Р(ρ,φ,z) – это полярные координаты ρ, φ проекции этой точки на плоскость Оху и аппликата данной точки z (рис.5).

Рис.5 Рис.6

Формулы перехода от цилиндрических координат к декартовым можно задать следующим образом:

x = ρcosφ, y = ρsinφ, z = z. (8)

В сферических координатах положение точки в пространстве определяется линейной координатой r – расстоянием от точки до начала декартовой системы координат (или полюса сферической системы), φ – полярным углом между положительной полуосью Ох и проекцией точки на плоскость Оху, и θ – углом между положительной полуосью оси Оz и отрезком OP (рис.6). При этом

Зададим формулы перехода от сферических координат к декартовым:

x = rsinθcosφ, y = rsinθsinφ, z = rcosθ. (9)

Тогда формулы перехода к цилиндрическим или сферическим координатам в тройном интеграле будут выглядеть так:

, (10)

где F 1 и F 2 – функции, полученные при подстановке в функцию fвместо x, y, z их выражений через цилиндрические (8) или сферические (9) координаты.

1.4 Геометрические и физические приложения кратных интегралов

1) Площадь плоской области S:

(11)

Пример 1.

Найти площадь фигуры D, ограниченной линиями

Эту площадь удобно вычислять, считая у внешней переменной. Тогда границы области задаются уравнениями

и
вычисляется с помощью интегрирования по частям:

Понятие двойного интеграла

Двойной интеграл (ДИ) является обобщением определенного интеграла (ОИ) функции одной переменной на случай функции двух переменных.

Пусть непрерывная неотрицательная функция $z=f\left(x,y\right)$ задана в замкнутой области $D$, расположенной в координатной плоскости $xOy$. Функция $z=f\left(x,y\right)$ описывает некоторую поверхность, которая проецируется в область $D$. Область $D$ ограничена замкнутой линией $L$, граничные точки которой также принадлежат области $D$. Предполагаем, что линия $L$ образована конечным числом непрерывных кривых, заданных уравнениями вида $y=\vartheta \left(x\right)$ или $x=\psi \left(y\right)$.

Разобьем область $D$ на $n$ произвольных участков площадью $\Delta S_{i} $. В каждом из участков выберем по одной произвольной точке $P_{i} \left(\xi _{i} ,\eta _{i} \right)$. В каждой из этих точек вычислим значение заданной функции $f\left(\xi _{i} ,\eta _{i} \right)$. Рассмотрим объем под той частью поверхности $z=f\left(x,y\right)$, которая проецируется в участок $\Delta S_{i} $. Геометрически этот объем можно приближенно представить как объем цилиндра с основанием $\Delta S_{i} $ и высотой $f\left(\xi _{i} , \eta _{ii} \right)$, то есть равным произведению $f\left(\xi _{i} ,\eta _{i} \right)\cdot \Delta S_{i} $. Тогда объем под всей поверхностью $z=f\left(x,y\right)$ в пределах области $D$ можно приближенно вычислить как сумму объемов всех цилиндров $\sigma =\sum \limits _{i=1}^{n}f\left(\xi _{i} ,\eta _{i} \right)\cdot \Delta S_{i} $. Эта сумма называется интегральной суммой для функции $f\left(x,y\right)$ в области $D$.

Назовем диаметром $d_{i} \left(\Delta S_{i} \right)$ участка $\Delta S_{i} $ самое большое расстояние между крайними точками этого участка. Обозначим $\lambda $ самый большой из диаметров всех участков из области $D$. Пусть $\lambda \to 0$ за счет неограниченного $n\to \infty $ измельчения разбивки области $D$.

Определение

Если существует предел интегральной суммы $I=\mathop{\lim }\limits_{\lambda \to 0} \sigma $, то это число называют ДИ от функции $f\left(x,y\right)$ по области $D$ и обозначают $I=\iint \limits _{D}f\left(x,y\right)\cdot dS $ или $I=\iint \limits _{D}f\left(x,y\right)\cdot dx\cdot dy $.

При этом область $D$ называется областью интегрирования, $x$ и $y$ -- переменными интегрирования, а $dS=dx\cdot dy$ -- элементом площади.

Из определения следует геометрический смысл ДИ: он дает точное значение объема некоторого криволинейного цилиндра.

Применение двойных интегралов

Объем тела

В соответствии с геометрическим смыслом ДИ, объем $V$ некоторого тела, ограниченного сверху поверхностью $z=f\left(x,y\right)\ge 0$, снизу областью $D$ на плоскости $xOy$, по бокам цилиндрической поверхностью, образующие которой параллельны оси $Oz$, а направляющей является контур области $D$ (линия $L$), вычисляется по формуле $V=\iint \limits _{D}f\left(x,y\right)\cdot dx\cdot dy $.

Пусть тело ограничивает сверху поверхность $z=f_{2} \left(x,y\right)$, а снизу -- поверхность $z=f_{1} \left(x,y\right)$, причем $f_{2} \left(x,y\right)\ge f_{1} \left(x,y\right)$. Проекцией обеих поверхностей на плоскость $xOy$ является одна и та же область $D$. Тогда объем такого тела вычисляют по формуле $V=\iint \limits _{D}\left(f_{2} \left(x,y\right)-f_{1} \left(x,y\right)\right)\cdot dx\cdot dy $.

Предположим, что в области $D$ функция $f\left(x,y\right)$ меняет знак. Тогда для вычисления объема соответствующего тела область $D$ надо разбить на две части: часть $D_{1} $, где $f\left(x,y\right)\ge 0$, и часть $D_{2} $, где $f\left(x,y\right)\le 0$. При этом интеграл по области $D_{1} $ будет положительным и равным объему той части тела, которая лежит выше плоскости $xOy$. Интеграл по области $D_{2} $ будет отрицательным и по абсолютной величине равным объему той части тела, которая лежит ниже плоскости $xOy$.

Площадь плоской фигуры

Если везде в области $D$ на координатной плоскости $xOy$ положить $f\left(x,y\right)\equiv 1$, то ДИ численно равен площади области интегрирования $D$, то есть $S=\iint \limits _{D}dx\cdot dy $. В полярной системе координат эта же формула приобретает вид $S=\iint \limits _{D^{*} }\rho \cdot d\rho \cdot d\phi $.

Площадь произвольной поверхности

Пусть некоторая поверхность $Q$, заданная уравнением $z=f_{1} \left(x,y\right)$, проецируется на координатную плоскость $xOy$ в область $D_{1} $. В этом случае площадь поверхности $Q$ можно вычислить по формуле $S=\iint \limits _{D_{1} }\sqrt{1+\left(\frac{\partial z}{\partial x} \right)^{2} +\left(\frac{\partial z}{\partial y} \right)^{2} } \cdot dx\cdot dy $.

Количество вещества

Предположим, что в области $D$ на плоскости $xOy$ распределено некоторое вещество с поверхностной плотностью $\rho \left(x,y\right)$. Это значит, что поверхностная плотность $\rho \left(x,y\right)$ представляет собой массу вещества, приходящуюся на элементарную площадку $dx\cdot dy$ области $D$. При этих условиях общую массу вещества можно вычислить по формуле $M=\iint \limits _{D}\rho \left(x,y\right)\cdot dx\cdot dy $.

Заметим, что в качестве "вещества" может выступать электрический заряд, тепло и т.п.

Координаты центра массы плоской фигуры

Формулы для вычисления значений координат центра массы плоской фигуры таковы:$ $$x_{c} =\frac{\iint \limits _{D}x\cdot \rho \left(x,y\right)\cdot dx\cdot dy }{M} $, $y_{c} =\frac{\iint \limits _{D}y\cdot \rho \left(x,y\right)\cdot dx\cdot dy }{M} $.

Величины в числителях называются статическими моментами $M_{y} $ и $M_{x} $ плоской фигуры $D$ относительно осей $Oy$ и $Ox$ соответственно.

Если плоская фигура однородна, то есть $\rho =const$, то эти формулы упрощаются и выражаются уже не через массу, а через площадь плоской фигуры $S$: $x_{c} =\frac{\iint \limits _{D}x\cdot dx\cdot dy }{S} $, $y_{c} =\frac{\iint \limits _{D}y\cdot dx\cdot dy }{S} $.

Моменты инерции площади плоской фигуры

Рассмотрим на плоскости $xOy$ материальную плоскую фигуру. Представим ее как некоторую область $D$, по которой распределено вещество общей массой $M$ с переменной поверхностной плотностью $\rho \left(x,y\right)$.

Значение момента инерции площади плоской фигуры относительно оси $Oy$: $I_{y} \; =\; \iint \limits _{D}x^{2} \cdot \; \rho (x,\; y)\; \cdot dx\; \cdot dy $. Значение момент инерции относительно оси $Ox$: $I_{x} \; =\; \iint \limits _{D}y^{2} \cdot \; \rho (x,\; y)\cdot \; dx\; \cdot dy $. Момент инерции плоской фигуры относительно начала координат равен сумме моментов инерции относительно осей координат, то есть $I_{O} =I_{x} +I_{y} $.

Тройные интегралы вводятся для функций трех переменных.

Предположим, что задана некоторая область $V$ трехмерного пространства, ограниченная замкнутой поверхностью $S$. Считаем, что точки, которые лежат на поверхности, также принадлежат области $V$. Предположим, что в области $V$ задана некоторая непрерывная функция $f\left(x,y,z\right)$. Например, такой функцией при условии $f\left(x,y,z\right)\ge 0$ может быть объемная плотность распределения некоторого вещества, распределение температуры и т.п.

Разобьем область $V$ на $n$ произвольных частей, объемы которых $\Delta V_{i} $. В каждой из частей выберем по одной произвольной точке $P_{i} \left(\xi _{i} ,\eta _{i} ,\varsigma _{i} \right)$. В каждой из этих точек вычислим значение заданной функции $f\left(\xi _{i} ,\eta _{i} ,\varsigma _{i} \right)$.

Образуем интегральную сумму $\sum \limits _{i=1}^{n}f\left(\xi _{i} ,\eta _{i} ,\varsigma _{i} \right)\cdot \Delta V_{i} $ и будем неограниченно измельчать $\left(n\to \infty \right)$ разбивку области $V$ так, чтобы самый большой из диаметров $\lambda $ всех частей $\Delta V_{i} $ неограниченно уменьшался $\left(\lambda \to 0\right)$.

Определение

При перечисленных условиях предел $I$ этой интегральной суммы существует, называется тройным интегралом от функции $f\left(x,y,z\right)$ по области $V$ и обозначается $I\; =\; \iiint \limits _{V}f\left(x,y,z\right)\; \cdot dV $ или $I\; =\; \iiint \limits _{V}f\left(x,y,z\right)\cdot \; dx\cdot \; dy\; \cdot dz $.

Раньше мы доказывали свойства определенного интеграла, пользуясь его определением, как предела сумм . Совершенно так же можно доказать и основные свойства кратных интегралов. Для простоты мы все функции будем считать непрерывными, так что интегралы от них безусловно имеют смысл.

I. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, и интеграл от конечной суммы функций равен сумме интегралов от слагаемых:

II. Если область разложена на конечное число частей [например на две части , то интеграл по всей области равен сумме интегралов по всем частям:

III. Если в области , то

В частности :

IV. Если сохраняет знак в области (а), то имеет место теорема о среднем, выражающаяся формулой

где - некоторая точка, лежащая внутри области (а).

В частности, при получаем

где - площадь области .

Аналогичные свойства имеют место и для трехкратного интеграла. Заметим, что при определении двукратного и трехкратного интеграла как предела суммы считается всегда, что область интегрирования конечна и подынтегральная функция во всяком случае ограничена, т. е. существует такое положительное число А, что во всех точках N области интегрирования. Если эти условия не выполнены, то интеграл может существовать как несобственный интеграл аналогично тому, как это имело место для простого определенного интеграла . Мы займемся несобственными кратными интегралами в § 8.

Остановимся несколько подробнее на работах Остроградского по кратным интегралам.

Формула Остроградского для преобразования тройного интеграла в двойной, которую мы пишем обычно в виде

где div A - дивергенция поля вектора А,

Аn - скалярное произведение вектора А на единичный вектор внешней нормали n граничной поверхности, в математической литературе нередко связывалась ранее с именами Гаусса и Грина.

На самом деле в работе Гаусса о притяжении сфероидов можно усмотреть только весьма частные случаи формулы (1), например при P=x, Q=R=0 и т. п. Что касается Дж. Грина, то в его труде по теории электричества и магнетизма формулы (1) вовсе нет; в нем выведено другое соотношение между тройным и двойным интегралами, именно, формула Грина для оператора Лапласа, которую можно записать в виде

Конечно, можно вывести формулу (1) и из (2), полагая

и точно так же можно получить формулу (2) из формулы (1), но Грин этого и не думал делать.

где слева стоит интеграл по объему, а справа интеграл по граничной поверхности, причем суть направляющие косинусы внешней нормали.

Парижские рукописи Остроградского свидетельствуют, с полной несомненностью, что ему принадлежит и открытие, и первое сообщение интегральной теоремы (1). Впервые она была высказана и доказана, точно так, как это делают теперь в “Доказательстве одной теоремы интегрального исчисления”, представленном Парижской Академии наук 13 февраля 1826 г., после чего еще раз была сформулирована в той части “Мемуара о распространении тепла внутри твердых тел ”, которую Остроградский представил 6 августа 1827 г. “Мемуар” был дан на отзыв Фурье и Пуассону, причем последний его, безусловно читал, как свидетельствует запись на первых страницах обеих частей рукописи. Разумеется, Пуассону и не приходила мысль приписывать себе теорему, с которой он познакомился в сочинении Остроградского за два года до представления своей работы на теории упругости.

Что касается взаимоотношения работ по кратным интегралам Остроградского и Грина, напомним, что в “Заметке по теории теплоты” выведена формула, обнимающая собственную формулу Грина, как весьма частный случай. Непривычная теперь символика Коши, употребленная Остроградским в “Заметке”, до недавнего времени скрывала от исследователей это важное открытие. Разумеется, за Грином остается честь открытия и первой публикации в 1828 г. носящей его имя формулы для операторов Лапласа.

Открытие формулы преобразования тройного интеграла в двойной помогло Остроградскому решить проблему варьирования п-кратного интеграла, именно, вывести понадобившуюся там общую формулу преобразования интеграла от выражения типа дивергенции по п- мерной области и интеграл по ограничивающей ее сверхповерхности S с уравнением L(x,y,z,…)=0. Если придерживаться прежних обозначений, то формула имеет вид

Впрочем, Остроградский не применял геометрических образов и терминов, которыми пользуемся мы: геометрия многомерных пространств в то время еще не существовала.

В “Мемуаре об исчислении вариаций кратных интегралов” рассмотрены еще два важных вопроса теории таких интегралов. Во-первых, Остроградский выводит формулу замены переменных в многомерном интеграле; во-вторых, впервые дает полное и точное описание приема вычисления п- кратного интеграла с помощью п последовательных интеграций по каждой из переменных в соответствующих пределах. Наконец, из формул, содержащихся в этом мемуаре, легко выводится общее правило дифференцирования по параметру многомерного интеграла, когда от этого параметра зависит не только подынтегральная функция, но и граница области интегрирования. Названное правило вытекает из наличных в мемуаре формул настолько естественным образом, что позднейшие математики даже отождествляли его с одною из формул этого мемуара.

Замене переменных в кратных интегралах Остроградский посвятил специальную работу. Для двойного интеграла соответствующее правило вывел с помощью формальных преобразований Эйлер, для тройного - Лагранж. Однако, хотя результат Лагранжа верен, рассуждения его были не точными: он как бы исходил из того, что элементы объемов в старых и новых переменных - координатах - между собою равны. Аналогичную ошибку допустил вначале в только что упомянутом выводе правила замены переменных Остроградский. В статье “О преобразовании переменных в кратных интегралах” Остроградский раскрыл ошибку Лагранжа, а также впервые изложил тот наглядный геометрический метод преобразования переменных в двойном интеграле, который, в несколько более строгом оформлении, излагается и в наших руководствах. Именно, при замене переменных в интеграле по формулам, область интегрирования разбивается координатными линиями двух систем u=const, v=const на бесконечно малые криволинейные четырехугольники. Тогда интеграл можно получить, складывая сначала те его элементы, которые отвечают бесконечно узкой криволинейной полосе, а затем, продолжая суммировать элементы полосами, пока они все не будут исчерпаны. Несложный подсчет дает для площади, которая с точностью до малых высшего порядка может рассматриваться как параллелограмм, выражение, где, выбирается так, чтобы площадь была положительной. В итоге получается известная формула